Fabrício Mainenti
RedatorUma folha de papel comum tem cerca de 0,1 milímetro de espessura. No papel (literalmente), dobrá-la 27 vezes criaria uma pilha com cerca de 13,4 quilômetros de comprimento, consideravelmente mais alta que o Monte Everest, e apenas 15 dobras adicionais aumentariam sua espessura teórica para cerca de 440 mil quilômetros, além da distância média entre a Terra e a Lua.
O único problema: o experimento é fisicamente impossível.
Mas os números comprovam isso
Isso mesmo, porque é matematicamente correto, e ajuda a visualizar um dos fenômenos com os quais nossa intuição mais tem dificuldade: o crescimento exponencial.
O extraordinário em toda essa história é que um estudante do ensino médio levou essa questão muito além do que parecia possível no mundo real e acabou demonstrando que mesmo o suposto limite de sete ou oito dobras também não era exatamente verdadeiro.
A folha de papel e o Monte Everest
O ponto de partida parece insignificante: uma folha de papel comum tem cerca de um décimo de milímetro de espessura. Ao ser dobrada uma vez, a espessura diminui para 0,2 mm, depois para 0,4 mm, depois para 0,8 mm e assim por diante, pois cada nova dobra dobra a espessura total acumulada anteriormente.
A fórmula é simples (0,1 mm multiplicado por 2 elevado à potência do número de dobras), mas seus resultados logo deixam de ser intuitivos: após 20 dobras, a pilha teria cerca de 105 metros de comprimento e, após 24, ultrapassaria um quilômetro.
A perplexidade surge com apenas três dobras
Com 24 dobras, teríamos aproximadamente 1,68 quilômetros de papel; com 25, cerca de 3,36 quilômetros; e com 26, em torno de 6,71 quilômetros, ainda abaixo dos 8.848,86 metros do Monte Everest. Basta mais uma dobra para alterar completamente a escala: a 27ª dobra eleva a espessura para aproximadamente 13,42 quilômetros.
Essa última dobra, por si só, acrescenta mais 6,71 quilômetros, exatamente o mesmo que tudo o que foi acumulado durante os 26 quilômetros anteriores, e aí reside a chave para entender por que nossa intuição começa a falhar.
Britney Gallivan entrou para o Guinness World Records com seu feito.
A parte mais estranha vem a seguir
Uma vez atingidos esses 13,4 quilômetros, é razoável imaginar que chegar à Lua exigiria centenas ou milhares de dobras adicionais, mas apenas 15 são necessárias. Com 40 dobras, a espessura teórica é de cerca de 110.000 quilômetros; com 41, chega a aproximadamente 220.000; e com a 42ª dobra, salta para cerca de 439.800 quilômetros.
A distância média entre a Terra e a Lua é de cerca de 384.400 quilômetros, então uma hipotética folha de 0,1 mm dobrada 42 vezes seria espessa o suficiente para ultrapassar essa distância.
A explicação reside em uma armadilha mental
Porque o problema não está na matemática, mas em nossa tendência de imaginar progressões exponenciais como se fossem lineares. Após dez dobras, por exemplo, a folha teria 1.024 camadas e uma espessura de cerca de dez centímetros. Mais dez dobras não adicionam simplesmente outros dez centímetros; Isso eleva o número de camadas para 1.048.576 e a espessura para aproximadamente 105 metros.
É o que os pesquisadores chamam de viés de crescimento exponencial: tendemos a subestimar sistematicamente processos nos quais uma quantidade é multiplicada repetidamente em vez de aumentar em incrementos constantes.
Um problema impossível de resolver na prática
A viagem à Lua é um experimento matemático, não algo que possa ser fisicamente realizado com papel. Cada dobra torna o pacote simultaneamente mais grosso e menor, enquanto a curvatura necessária para a próxima dobra exige quantidades cada vez maiores de material.
Em uma folha A4 padrão, mesmo conseguir oito dobras é extraordinariamente difícil, uma circunstância que por muito tempo alimentou a crença popular de que nenhum pedaço de papel poderia ser dobrado ao meio mais de sete ou oito vezes.
A estudante e o quilômetro de papel
Em 2002, Britney Gallivan, então estudante do ensino médio na Califórnia, recebeu um desafio acadêmico: dobrar algo ao meio 12 vezes. Após inúmeras tentativas frustradas com folhas de papel, jornais e outros materiais, ela concluiu que o problema poderia ser resolvido matematicamente e desenvolveu equações para calcular a quantidade de papel necessária, dependendo de sua espessura e de como era dobrado.
Por fim, ela usou uma tira contínua de papel de seda com cerca de 4.000 pés de comprimento, aproximadamente 1.219 metros, e depois de cerca de oito horas de trabalho, conseguiu dobrá-la ao meio 12 vezes.
Gallivan explicou a chave
Suas equações mostraram que o obstáculo não era um misterioso limite de sete dobras, mas sim a geometria do próprio papel, especialmente a curvatura necessária para envolver um pacote progressivamente mais espesso.
Gallivan explicou que, ao dobrar repetidamente na mesma direção, o aumento constante do número de dobras exige enormes quantidades de material; por isso, precisava de uma tira com mais de um quilômetro de comprimento para atingir 12 dobras.
Seu feito transformou um problema aparentemente trivial do ensino médio em uma demonstração física da diferença entre saber que algo dobra e realmente entender o que significa dobrá-lo repetidamente.
E a Lua não é apenas a ponta do iceberg
Se ignorássemos completamente as limitações físicas e continuássemos dobrando uma folha de 0,1 mm, 50 dobras produziriam uma espessura teórica de cerca de 112,6 milhões de quilômetros, e 51 dobras atingiriam aproximadamente 225 milhões de quilômetros — o suficiente para ultrapassar os cerca de 150 milhões de quilômetros que separam a Terra do Sol, em média.
Com cerca de 69 dobras, entraríamos na escala de anos-luz, e com pouco mais de cem, os valores seriam comparáveis ao tamanho do universo observável.
Obviamente, o modelo teria ultrapassado qualquer possibilidade física muito antes disso, mas é justamente essa impossibilidade que nos permite visualizar a ideia central: ir de um décimo de milímetro a ultrapassar o Monte Everest requer 27 dobras, e uma vez lá, bastam mais 15 para ultrapassar também a Lua.
Incrível... e matematicamente real.
Imagem | Marie Anna Lee, Guinness
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