O quatérnio está mais vivo do que nunca: a NASA e os videogames o utilizam mais de um século após sua descoberta

Naquela manhã de 16 de outubro de 1943, choveu torrencialmente, então, quando a chuva parou, Sir William Rowan Hamilton terminou seu uísque (não whisky, já que ele era irlandês, afinal) e perguntou à sua frágil esposa se eles gostariam de dar um passeio em Dublin. Ele vinha trabalhando há anos em um problema matemático relacionado a números complexos sem sucesso e decidiu que seria uma boa ideia tomar um pouco de ar fresco.

E assim o fez. Eles passearam, conversaram sobre o futuro dos filhos e, enquanto atravessavam a Ponte Broom, Sir William teve uma inspiração repentina. "Helen!", exclamou ele, "Eu não preciso multiplicar triplos: posso usar quádruplos!" Helen, é claro, não fazia a menor ideia, mas naquele momento nasceram os quatérnios, uma extensão dos números reais que, mais de um século e meio depois, são cruciais para as missões espaciais da NASA e também para a indústria de videogames. Parabéns, Sir William.

Um digno sucessor de Sir Isaac Newton

Sir William Rowan Hamilton (Dublin, 1805-1865) mostrou talento desde a infância. Aos treze anos, já falava diversas línguas europeias, além de persa, árabe, sânscrito e malaio. Aos oito anos, sua fama já era considerável, e a turnê do prodígio americano da computação, Zerah Colburn, deu-lhe a oportunidade de demonstrar sua genialidade. Aquele garoto americano de nove anos o derrotou em um teste de aritmética mental, e para o jovem Hamilton, isso lhe mostrou o caminho. Ele continuaria estudando línguas, mas o que realmente queria era se dedicar à matemática.

Em 1823, aquele jovem conquistou o primeiro lugar entre 100 candidatos nos exames do Trinity College. A prestigiada universidade irlandesa logo reconheceu o brilhantismo de Hamilton, e mesmo como estudante, ele já havia escrito parte de seu tratado sobre óptica, a conhecida "Teoria dos Sistemas de Raios".

Isso foi fundamental para sua nomeação, em 1827, como Astrônomo Real da Irlanda, um cargo bem remunerado e inédito para um estudante de graduação. Além disso, proporcionou a Hamilton a oportunidade de conduzir pesquisas com total liberdade, algo que ele não teria conseguido em uma hipotética cátedra no Trinity College.

Seu trabalho em óptica acabaria por se entrelaçar com seu trabalho em dinâmica e álgebra na década de 1830. Sua colaboração com diversos colegas o levou a perseguir um objetivo muito específico: generalizar os números complexos para representar rotações e movimentos vetoriais no espaço tridimensional. Se tivesse sucesso, ele teria uma ferramenta poderosa para formular as leis fundamentais da física e descrever o movimento de corpos rígidos no espaço.

Em 1833, ele apresentou um artigo à Real Academia Irlandesa, no qual definiu as operações de adição e multiplicação de pares de números reais. Ele foi o primeiro matemático a tratar os números complexos como pares ordenados (Gauss já o havia feito antes, mas sem publicar suas descobertas), e sua visão estava intimamente ligada à física.

Para avançar nesse campo, Hamilton tentou estudar o que chamou de "Teoria dos Tripletos", números hipercomplexos que se referiam ao espaço tridimensional da mesma forma que os números complexos se referiam ao espaço bidimensional.

Isso o levou à descoberta dos quatérnios. Os tripletos não mantinham as propriedades comuns dos números complexos quando multiplicados, e sua obsessão com o problema era tamanha que até seus filhos acabaram lhe fazendo a mesma pergunta todas as manhãs: "Papai, você já consegue multiplicar tripletos?", ao que ele respondia: "Não, por enquanto só consigo somá-los e subtraí-los."

E então veio aquela caminhada. Quinze anos depois, Hamilton descreveria aquele feliz momento de descoberta repentina em uma carta a um de seus filhos:

"Amanhã será o décimo quinto aniversário dos quatérnios. Eles surgiram, ou vieram à luz, já desenvolvidos, em 16 de outubro de 1843, quando eu caminhava com a Sra. Hamilton em direção a Dublin e atravessamos a Ponte Broughman. Ou seja, naquele instante, fechei o circuito galvânico do pensamento, e as faíscas que caíram foram as equações fundamentais entre i, j, k; exatamente como as tenho usado desde então.

Naquele momento, peguei um caderno de bolso, que ainda existe, e fiz uma anotação na qual, naquele exato momento, senti que poderia valer a pena estender meu trabalho por pelo menos os próximos dez (ou talvez quinze) anos. É justo dizer que isso aconteceu porque senti, naquele momento, que um problema havia sido resolvido, um desejo intelectual satisfeito, um desejo que me assombrava há pelo menos quinze anos. Não consegui resistir ao impulso de pegar minha faca e..." gravar a fórmula fundamental em uma pedra da Ponte Brougham

Símbolos i, j, k:

i²=j²=k²=ijk=−1

que continha a solução para o Problema, que sobreviveu desde então como uma inscrição.

Hamilton chamou uma quádrupla com essas regras de multiplicação de quatérnio e dedicou o resto de sua vida a estudá-las, desenvolvê-las e ensiná-las a estudantes e acadêmicos.

Quatérnios no espaço, quatérnios em videogames

O estudo dos quatérnios levou a muitas outras descobertas matemáticas, mas sua aplicação tem sido surpreendente mais de um século e meio depois daquela caminhada. De fato, os quatérnios são usados ​​em computadores de bordo ou em estudos de simulação que envolvem grandes mudanças de ângulo ao monitorar a altitude da espaçonave.

O uso de quatérnios elimina problemas como a singularidade de Euler e permite o uso de apenas quatro parâmetros, além de ser ideal para o controle de erros digitais.

De fato, os chamados quatérnios unitários fornecem uma notação matemática para representar as orientações e rotações de objetos em três dimensões e, por esse motivo, são amplamente utilizados em robótica e navegação mecânica orbital de satélites, sendo empregados em missões da NASA há décadas.

Essa mesma capacidade de representar rotações no espaço é fundamental para o desenvolvimento de videogames 3D e até mesmo de animação: diversos motores gráficos utilizam esses sistemas para representar essas rotações e trazê-las para o mundo virtual com precisão. Reiteramos: Parabéns, Sir William.

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